渋幕【算数】2022-5

問題

立方体ABCD-EFGHにおいて
正方形ABCDの対角線ACを三等分する点をAに近い方から点P,Q
正方形FGCBの対角線FCを三等分する点をAに近い方から点R,S
正方形HDCGの対角線HCを三等分する点をAに近い方から点T,U
とします。次の問いに答えなさい。ただし、角錐の体積は(底面積)x(高さ)÷3で求められるものとします。

(1)立方体を3点P,R,Tを通る平面で切断した時にできる切り口の図形を(ア)、3点Q,S,Uを通る平面で切断した時にできる切り口の図形を(イ)とします。(ア)の面積と(イ)の面積の比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2)立方体を3点P,R,Tを通る平面と、3点Q,R,Tを通る平面で同時に切断した時できる立体のうち、点Bを含む立体と点Eを含む立体の体積の比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。(渋幕中

情報整理・分析における思考の流れ

切断面(切断線)の考え方
①同一平面上の点を結ぶ
②平行な面には平行な切断線が現れる。

切断面の問題はこのルールに絶対に矛盾しません。難しいとされる問題は、②の”平行な面”にトリックが仕掛けられています。あらゆるトリックパターンを、それぞれの対処法ではなく、同じルールで解明する訓練を必要とします。こちらの問題は内部線しかありません。内部線しかなくてもルールは変わりません。

このような問題をできるようにするためには、先生から一方的に解説されて、なるほど納得することにあまり意味はありません。難しいとされればされるほど、面白い解き方があるものです。しかし、本番で、そんな面白い解き方が思いつく確証など、どこにもありません。妄想に逃げず、ルールを徹底し情報を書ききる訓練が必要です。あらゆるパターンをなるべく同じ思考回路、同じルールで解いていくことが重要となります。

(1)「②平行な面には平行な切断線が現れる。」
RTと平行な切断線がABCDに現れます。Pを通る切断線は、ADとABの3等分点の一つを通ります。この場合、ABCDを真上から見た正面図を描くとわかりやすいです。

残り5本の内部線を起点として立体の面に切断線が現れます。全て各辺の3等分点の一つを通っています。

「①同一平面上の点を結ぶ」

相似な図形で比較していくため、いろいろ延長して、全ての図を正三角形の組み合わせで表現していきます。

正三角形の相似比 小:中:大=1:2:4
正三角形の面積比 小:中:大=1:4:16

ア:イ=4:13(=16-1×3)

(2)「②平行な面には平行な切断線が現れる。」前問と同様、正面図、立面図で考えるとわかりやすいです。

3等分点があるので1辺を3として計算します。
Bを含む立体(4,4.4の三角錐ー(1,1,1の三角錐)x2ー2,2,2の三角柱ー2,2,2の三角錐)
4x4x1/2x4x1/3-(1x1x1/2x1x1/3)x2-2x2x1/2×2-2x2x1/2x2x1/3)=5

Eを含む立体(3,3,3.の立方体ーBー2,2,3の三角柱)
3x3x3-5-2x2x1/2×3=16

Bを含む立体の体積:Eを含む立体の体積=5:16

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