武蔵【算数】2022-4

問題

図のような、点Oが中心の大小2つの半円があります。点Pは点Aを出発して大きい半円の円周上を毎秒3cmの速さで点Bまで進み、Bで2秒間停止した後、再び同じ円周上を同じ速さでAまで進み、Aで2秒間停止します。Pはこの動きを繰り返します。また、点Qは点Cを出発して小さい半円の円周上を点Dまで進み、Dからは直径DC上を進んでCまで戻る動きを繰り返します。Qは停止することなく毎秒2cmの速さで動きます。P,Qが同時にA,Cを出発したとき、次の各問に答えなさい。ただし、この問題では円周率は22/7とします。

(1)点Qが点Cに初めて戻ってくるのは出発して何秒後ですか。

(2)角POQの大きさが初めて45°になるのは出発して何秒後ですか。

(3)点Qが直径CD上になく、3点O,P,Qが一直線上に並ぶことがあります。初めてそうなるのは出発して何秒後ですか。また、3回目にそうなるのは出発して何秒後ですか。

情報整理・分析における思考の流れ

情報整理が非常に有効な問題。開成・麻布・武蔵 男子御三家を筆頭に解き方を記述させる出題形式の入試問題の場合、情報整理する姿勢は欠かすことのできない重要な要素です。

「勘でできてしまう」という子によく会いますが、そのほとんどが勘ではできない問題に出会ってないだけです。どんどん難しい問題に

(1)点Qが点Cに初めて戻ってくるのは出発して何秒後ですか。

( 7 x 2 x 22/7 x 1/2 + 7 x 2 ) ÷ 2 = 18(秒)

(2)角POQの大きさが初めて45°になるのは出発して何秒後ですか。

角速度を調べましょう

点P 180/22 = 90/11(°/秒)
点Q 180/11(°/秒)

角POQが45°になるのは、
45 ÷ ( 180/11 – 90/11 ) = 45 x 11/90 = 11/2 = 5.5(秒後)

(2)別解

点P,Qの変化点(何かが起きる点)を調べます。

点P A:0秒 B:22秒 ・・・
点Q C:0秒 D:11秒 C:18秒 ・・・

点QがDにいるとき(11秒後)点Pは弧ABの中点にあり、そのとき角POQ = 90°

よって角POQ = 45°に初めてなるのは、11/2 = 5.5(秒後)

(3)点Qが直径CD上になく、3点O,P,Qが一直線上に並ぶことがあります。初めてそうなるのは出発して何秒後ですか。

変化点の情報を書き込んで整理しましょう

点P A:0秒 B:22~24秒 A:46~48秒 B:70~72秒 ・・・
点Q C:0秒 D:11秒 C:18秒 D:29秒 C:36秒 D:47秒 C:54秒 D:65秒 ・・・

各時間の状況を判断しつつ、1つずつ確認していきましょう。急がば回れ

0~11秒でO,P,Q一直線になる場所は明らかにない。
18秒後 点QはC、点PはBに向かっている。
22秒後 点QはDに向かっており、点PはBで止まっている。
24秒後 点QはDに向かっており、点PはAに向かう。この後、3点は1直線となる。

Qがいる角度:( 24 – 18 ) x 180/11

( 180 – 6 x 180/11 ) ÷ ( 180/11 + 90/11 )
= 5 x 180/11 x 11/270
= 10/3(3と1/3)

1回目は 27と1/3 秒後

36秒後 点QはDに向かい、点PはAに向かっている。この後、3点は1直線となる。
これは2回目なのでスルー

54秒後 点QはDに向かい、点PはBに向かっている。この後、3点は1直線となる。

Pがいる角度:( 54 – 48 ) x 90/11

6 x 90/11 ÷ ( 180/11 – 90/11 )
= 6 x 90/11 x 11/90
= 6

3回目は 60 秒後

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