栄光【算数】2022-4

問題

図1のような円錐があります。この円錐の側面を直線XAに沿って切りひらくと、円の4分の1であるおうぎの形になります。また、円錐の底面の円には、すべての頂点が円周上にあるような正方形ABCDが書いてあります。正方形ABCDの1辺の長さは10cmです。

(1)XAの長さは底面の半径の長さの何倍ですか。

この円錐の表面上を動く点Pと点Qを考えます。点Pは、図2のように、Aを出発して円錐の側面を最短距離で左回りに1周してAに戻ってきます。一方、点Qは、図3のように、Aを出発して正方形ABCDの辺上を左回りに1周してAに戻ってきます。点Pと点Qは同時にAを出発して、それぞれ一定の速さで動きます。点Pの速さは点Qの速さの4倍です。この時、円錐を真上から見ると、点Pは図4の実線部分に沿って動いていました。

(2)点PがAを出発してから、再びAに戻るまでに移動した距離を答えなさい。また、点PがAに戻った時の点Qの位置を次の①〜⑧の中から選び、記号で答えなさい。

①A ②AとBの間 ③B ④BとCの間 ⑤C ⑥CとDの間 ⑦D ⑧DとAの間

(3)図5は、ある時に円錐を真上から見た図で、3点C、P、Xは一直線上にありました。この時、実際のXPの長さ(円錐の頂点から点Pまでの長さ)と、図5のXPの長さ(真上から見た時のXPの長さ)を答えなさい。

(4)図6は、ある時に円錐を真上から見た図で、3点B、P、Xは一直線上にありました。

(ア)Aを出発してからこの時までにかかった時間は、点Pが1周する時間の1/4倍の時間と比べて、長いですか、短いですか、同じですか。

(イ)図6の”あ”の角度を答えなさい。

(ウ)図6のXPの長さは、図6のXQの長さと比べて、長いですか、短いですか、同じですか。また、その理由も書きなさい。

(5)図7は、ある時の円錐を真上から見た図で、点Pは辺AB上にありました。図7の”い”の角度を答えなさい。

情報整理・分析における思考の流れ

出題者と対話をしながら、原理を解明していく問題。テクニックなど存在しない。例のごとく、情報の書き込みの徹底がカギ。当たり前の情報を1か所に集め、俯瞰することによって、共通点が見えてきます。これを”閃き”と呼ぶのでしょうか。私はそうは思いません。徹底した情報整理と分析の先にある当然の結果と考えます。情報の書き込みは訓練によってスピードアップできます。簡単な問題でも、しっかりと書き込みをすれば、ケアレスミスの減少にも期待できます。

図1のような円錐があります。この円錐の側面を直線XAに沿って切りひらくと、円の4分の1であるおうぎの形になります。また、円錐の底面の円には、すべての頂点が円周上にあるような正方形ABCDが書いてあります。正方形ABCDの1辺の長さは10cmです。

(1)XAの長さは底面の半径の長さの何倍ですか。

側面の中心角/360°=底面の半径/母線 90/360=1/4 4倍

この円錐の表面上を動く点Pと点Qを考えます。点Pは、図2のように、Aを出発して円錐の側面を最短距離で左回りに1周してAに戻ってきます。一方、点Qは、図3のように、Aを出発して正方形ABCDの辺上を左回りに1周してAに戻ってきます。点Pと点Qは同時にAを出発して、それぞれ一定の速さで動きます。点Pの速さは点Qの速さの4倍です。この時、円錐を真上から見ると、点Pは図4の実線部分に沿って動いていました。

(2)点PがAを出発してから、再びAに戻るまでに移動した距離を答えなさい。また、点PがAに戻った時の点Qの位置を次の①〜⑧の中から選び、記号で答えなさい。

①A ②AとBの間 ③B ④BとCの間 ⑤C ⑥CとDの間 ⑦D ⑧DとAの間

まずは「展開図の作成」「情報の書き込み」です。

“最短距離=展開図上の直線“なのでPが進んだ道のりはAA’となります。△XAA’と△XAB(XBC,XCD,XDA)が相似(相似比4:1)なので、AA’=40cm(=10×4)

点Pの速さは点Qの速さの4倍なので、Pが1周(40cm)進んだ時、Qは10cm進んでいます。ABCDは1辺10cmの正方形なので、ちょうど1辺分進んだことになります。

(3)図5は、ある時に円錐を真上から見た図で、3点C、P、Xは一直線上にありました。この時、実際のXPの長さ(円錐の頂点から点Pまでの長さ)と、図5のXPの長さ(真上から見た時のXPの長さ)を答えなさい。

展開図に書き込んで考えます。Pは今Aの向かい側にありますので、AA’の中点の位置にあると考えることができます。実際のXP=20cm

立体図に書き込んで考えます。図5のXP(真上から見た時のXP)=X’P’=X’’P

△XCX’と△XPX’’は相似なのでX’’P=5cm(=20/4)

(4)図6は、ある時に円錐を真上から見た図で、3点B、P、Xは一直線上にありました。

(ア)Aを出発してからこの時までにかかった時間は、点Pが1周する時間の1/4倍の時間と比べて、長いですか、短いですか、同じですか。

(イ)図6の”あ”の角度を答えなさい。

(ウ)図6のXPの長さは、図6のXQの長さと比べて、長いですか、短いですか、同じですか。また、その理由も書きなさい。

展開図に書き込んで考えます。Pがいる位置は、XB’とAA’の交点。A’Pは明らかにAA’の1/4よりも長い

孤A’B’=孤B’Cより、角A’XB’=角B’XC=22.5°
XA’:XA=4:1。Pの速さ:Qの速さ=4:1なのでA’P:AQ=4:1。二辺比夾角相等より、△A’XPと△XAQは相似。あ=22.5°

実際の長さでは、XP:XQ=4:1。(3)と同様に真上から見たXPは実際のXPの1/4なので、真上から見た時のXP:XQ=1:1

(5)図7は、ある時の円錐を真上から見た図で、点Pは辺AB上にありました。図7の”い”の角度を答えなさい。

この問題の作者が(4)までの問題で私たちに伝えたかったメッセージはなんだろうか。このような壮大な問題は得てして、最後の問題までの問題は最後の問題を解くためのヒントである。

(3)(ウ)の答えが“同じ”であったことから問題を改めて眺めてみる。P,QがAにいる時、真上から見ると、当然、XP=XQ。PがXC上にあるときQは直線ABの中点におり、XP=XQ=5cm。
よって、この問題における真上から見た時のXPとXQは常に等しく、移動した角度も1:4と考えることができる。

XPと同じ長さの場所を探す。AP上のどこかにはあるだろうが、その点における情報があまりにも少なすぎる。この図形は直線ACの線対称な図形なので直線ADとAの移動線の交点にPと同様の点を見つけることができる。その交点にP’がきた時、今のPの位置にQが来るとわかる

角AXP:角AXP’=1:4、角AXP=角AXP’

よって角AXP=72°(=360/5)